1.3 곱셈공식 (2) · 두 일차식의 곱

Hook · 도입

"$(x+2)(x+3), (x+1)(x+4), (x+5)(x-2)$ ... 모두 한 줄로 답할 수 있을까?"

규칙성을 발견하라. $(x+a)(x+b)$ 의 전개 결과는 매번 같은 모양을 띤다 — $x^2$ 항, 일차항, 상수항. 거기 들어가는 숫자가 패턴을 이룬다.

(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6 ← 합 5, 곱 6
(x+1)(x+4) = x² + 5x + 4 ← 합 5, 곱 4
(x+5)(x-2) = x² + 3x − 10 ← 합 3, 곱 −10
패턴 : 일차항 = 두 수의 합, 상수항 = 두 수의 곱

Core · 개념

두 일차식의 곱 — 두 공식

Two Identities

①$x^2$ 의 계수가 1인 경우

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

분배법칙으로 풀면

$x\cdot x + x\cdot b + a\cdot x + a\cdot b = x^2 + bx + ax + ab$

중간 두 항을 묶는다

$bx + ax = (a+b)x$

결과는 항상 패턴 일정

$x^2 + (a+b)x + ab$ — 일차항 계수는 합, 상수항은 곱.

식	일차항 (a+b)	상수항 (ab)	결과
(x+2)(x+5)	2+5 = 7	2·5 = 10	x² + 7x + 10
(x+3)(x-4)	3+(-4) = -1	3·(-4) = -12	x² - x - 12
(x-2)(x-5)	(-2)+(-5) = -7	(-2)·(-5) = 10	x² - 7x + 10

②$x^2$ 의 계수가 1이 아닌 경우

$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

$x^2$ 의 계수 = 앞뒤 일차항의 계수의 곱

$ax \cdot cx = acx^2$

일차항 = 대각선 곱의 합

$ax\cdot d + b\cdot cx = (ad+bc)x$ — 이 패턴이 핵심.

상수항 = 두 상수의 곱

$b\cdot d = bd$

식	x²계수 (ac)	x계수 (ad+bc)	상수항 (bd)
(2x+1)(3x+4)	2·3 = 6	2·4+1·3 = 11	1·4 = 4
(3x-2)(x+5)	3·1 = 3	3·5+(-2)·1 = 13	(-2)·5 = -10

Interactive · 실험실

두 일차식 전개기

Live Expander

두 공식 중 하나를 골라 계수를 입력하라.

형태 a b

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. $(x+2)(x+3)$ 을 전개하라.

Q2. $(x+3)(x-4)$ 를 전개하라.

Q3. $(x-3)(x-4)$ 를 전개하라.

Q4. $(2x+1)(3x+4)$ 를 전개하라.

Q5. $(3x-2)(x+5)$ 를 전개하라.

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1

$(x+6)(x-2)$ 를 공식으로 전개하라.

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ 에서 $a=6, b=-2$.

$a+b = 6+(-2) = 4$ → 일차항 계수
$ab = 6\cdot(-2) = -12$ → 상수항
결과 → $x^2 + 4x - 12$
분배법칙 검증 : $x^2 - 2x + 6x - 12 = x^2 + 4x - 12$ ✓

예제 2

$(2x-3)(4x+5)$ 를 공식으로 전개하라.

$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ 에서 $a=2, b=-3, c=4, d=5$.

$ac = 2\cdot 4 = 8$ → $x^2$ 계수
$ad+bc = 2\cdot 5 + (-3)\cdot 4 = 10 - 12 = -2$ → $x$ 계수
$bd = (-3)\cdot 5 = -15$ → 상수항
결과 → $8x^2 - 2x - 15$

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

$(x+2)(x+5)$ 를 전개하라.

02★

$(x+5)(x-4)$ 를 전개하라.

03★

$(x-4)(x-5)$ 를 전개하라.

04★★

$(2x+3)(3x+2)$ 를 전개하라.

05★★

$(2x-3)(3x+4)$ 를 전개하라.

06★★

$(2x-1)(2x-5)$ 를 전개하라.

07★★★

$(3x+2y)(5x-y)$ 를 전개하라.

08★★★

$(x+7)(x-2)$ 를 전개하라.

합과 곱 — 두 숫자만 기억하면 된다

$(x+a)(x+b)$ 형태가 보이면 즉시 두 가지를 묻는다 — "$a+b$ 는 얼마? $ab$ 는 얼마?" 그 두 답이 바로 일차항 계수와 상수항이다. 이 직관은 다음 단원 "인수분해"에서도 그대로 작동한다 — 거꾸로 읽으면 인수분해가 된다.

"Algebra is generous; she often gives more than is asked of her." — d'Alembert

곱셈공식 (2)두 일차식의 곱